From Pierre Chantraine, Formation des noms en grec ancien (Paris, 1933) p. 216
Enfin le groupe de αἰσυμνάω, dor. αἰσιμνάω 'arbitrer', avec les dérivés αἰσυμνήτης, αἰσυμνητήρ etc... , suppose un substantif en -mn-. Le substantif désigne un chef, un magistrat (à Mégare p. ex.), un arbitre aux joux, et les membres de certains collèges religieux (à Milet, etc...). L'origine en est probahlement asianique, cf. les noms homériques Αἰσυήτης, Αἰσύμη, Αἰσύμνος le nom de divinité Αἰσυμνήτης et la variant αἰσυητήρ = αἰσυμνητήρ Ω 347. Le rapport avec αἶσα « part » (origine indo-européenne, cf. osque aeteis, etc...) peut n'être du qu'à l'etymologie populaire.
The variants are not easy to explain etymologically, especially in view of the Doric forms that show -ι- for -υ- (but I'm sure someone can make something up through the Caland System if they try hard enough). Chantraine, Formation (1933: 216), already considered these probable prehistoric loanwords.