Mein Screenshot zeigt unter dem Text "Ein Versuch über die ersten drei binomischen Formeln
... insbesonders Denen gewidmet, die glauben, schlecht in Mathe zu sein" zwei Fotos; das eines LEGO.Modells, das die ersten vier Reihen des Yang-Hui- oder Pascal-Dreiecks zeigt. Die erste Reihe stellt einen Punkt, bestehend aus einem Einer-Baustein dar, die zweite Reihe eine Strecke und ein kleines Stück neuer Strecke, die dritte Reihe ein blaues Quadrat, zwei weiße Rechtecke und ein kleines schwarzes Quadrat, die vierte Reihe einen Würfel, drei Wandelemente, drei Kanten und einen kleinen Würfel und das Foto des "Punktes" der vergrößerten "Strecke", des vergrößerten "Quadrats" und des vergrößerten Würfels.
Unter dem Bild steht: "Einen Punkt kann man nicht vergrößern, ohne dass er seine "Punktigkeit" einbüßt, aber Strecken, Quadrate und Würfel bleiben, was sie waren, vergrößert man sie, wie in diesem Bild gezeigt wird."
Mein Screenshot liest sich:
"Quadratzahlen sind etwas ganz Besonderes. Sie sind das Produkt* zweier gleicher Faktoren*, zum Beispiel 100 mal 100 gleich 10000***. Wenn man sie versteht, kann man sich entspannt zurücklehnen, und Vieles wird einfacher.
*Die einzelnen Zahlen, die man miteinander multipliziert, heißen "Faktoren".
**Das Ergebnis einer Multiplikation ist ein „Produkt“.
***Nullentrick: 1 mal 1 = 1 und einfach die beiden Nullen von der einen 100 und die der anderen 100 dranhängen, ergibt 10000. 30 mal 60 ist gleich drei mal sechs mit zwei Nullen dran, also 1800, 3 mal 600 ist 1800, 300 mal 6 auch. Man muss nur das kleine Einmaleins können und Nullen zählen. Aber Vorsicht! 500 mal 80 ist 5 mal 8 gleich 40 mit drei Nullen gleich 40000. Eine Null ist durch die Multiplikation entstanden. Die darf man nicht mit den anderen Nullen verwechseln.
Im oberen Foto kann man auch sehen, was passiert, wenn man ein Quadrat vergrößert: Es entsteht ein Quadrat wie das im unteren Bild gezeigte, das aus einem blauen Quadrat besteht, zwei exakt gleich großen weißen Rechtecken und einem dunklen Quadrat. Jedes Quadrat und jede Quadratzahl können auf diese Weise entstehen.
Nehmen wir an, wir haben ein 10mal10-Quadrat und möchten das vergrößern, sagen wir um je sieben. So wird aus dem 10mal10-Quadrat ein 17mal17-Quadrat.
Das blaue Quadrat soll jetzt 10mal10 entsprechen. Dann sind die beiden weißen Rechtecke jeweils 10mal7. Und das dunkle Quadrat ist 7mal7.
Mit 10mal10=100, 10mal7=70, 7mal10=70 und 7mal7=49 bekommt man 100+70+70+49=289.
Verallgemeinert liefert das: Startquadrat plus zwei gleiche Rechtecke plus neues Quadrat. gleich Zielquadrat. Das kann man kürzer schreiben, nämlich als
(a+b)²=a²+2ab+b²
Und das ist die erste binomische Formel!"
Mein Screenshot liest sich:
"Die Zahl 17 kann man als (20-3) schreiben, 17 mal 17 wird zu (20-3)(20-3). Wenn man die Seiten eines Zwanzigerquadrats um drei verkleinern will, muss also dasselbe Ergebnis dabei herauskommen. Und das klappt auch. Das vergrößerte Quadrat hat eine Fläche von 20*20=400. Davon wird ein 3*20-Rechteck abgezogen, dessen Fläche einem weißen Rechteck plus dem dunklen Quadrat entspricht. Wenn man jetzt noch ein 3*20-Rechteck abziehen will, fehlt dieses dunkle Quadrat, das man wieder addieren muss: 20mal20 minus zwei mal 20mal3 plus 3mal3 ist gleich 400 minus 120 plus 9 gleich 289.
In Klammerschreibweise: (20-3)(20-3)=Erster Teil der ersten Klammer mal erstem Teil der zweiten Klammer minus zweiter Teil der ersten Klammer mal erstem Teil der zweiten Klammer minus zweiter Teil der ersten Klammer mal erstem Teil der zweiten Klammer plus zweiter Teil der ersten Klammer mal zweitem Teil der zweiten Klammer: (20-3)(20-3)=400-60-60+9 gleich 289.
Allgemein:
(a-b)²=a²-2ab+b²
Das ist die zweite binomische Formel.
Wenn man eines der beiden Rechtecke des vergrößerten Quadrats nimmt und so neben das andere legt, dass sich deren Längsseiten berühren, entsteht ein Rechteck aus blauem Quadrat und den Rechtecken, neben dem das dunkle Quadrat liegt. Der Umfang dieses Rechtecks ist genauso groß wie der des Ursprungsquadrats, aber seine Fläche ist um die Fläche des dunklen Quadrats verringert. Seien die Seiten des blauen Quadrats gleich 17 und die der Rechtecke 17 und 3. Dann sind die Rechteckseiten des zusammengesetzten Rechtecks 23 und 17, und seine Fläche ist gleich der des Ursprungsquadrats minus der des kleinen. Das kann man als (20+3)(20-3)=20²-3² gleich 391 schreiben, allgemein:
(a+b)(a-b)=a²-b²
Das ist die dritte binomische Formel. (a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b². Das Rechteck ab wird zuerst von a² weggenommen und dann wieder gebraucht, um das neue Rechteck (a+b)(a-b) zu formen."
Ein Versuch über die ersten drei binomischen Formeln
Screenshot einer Pdf-Seite mit Typo Richtig: "insbesonder'e'"
Vom Textbeitrag musste ich zwei Screenshots machen: #ALText ersetzt Thread, und #inclusion is #fairness:)
#education #binomischeFormeln #maths #Mathematik #Mathe #Dyskalkulie #Geometrie
